Родился 21 декабря 1976 года в Красноярске.

В 1999 году окончил Красноярский государственный университет по специальности «финансы и кредит».

С 1997 года работал в главном финансовом управлении администрации Красноярского края экономистом, затем начальником отдела.

С 2001 года — начальник финансового отдела ОАО «Красноярскагропромдорстрой».

С 2002 года — главный специалист, начальник отдела инвестиционных ресурсов и экологии администрации Красноярска.

С 2003 года — в администрации Красноярского края, был заместителем начальника главного финансового управления, а затем первым заместителем главы департамента финансов.

В марте—июле 2007 года занимал пост проректора по экономике и финансам Сибирского федерального университета.

В июле 2007 года назначен заместителем губернатора Александра Хлопонина — главой департамента финансов Красноярского края.

С июля 2008 года — министр финансов, с декабря одновременно заместитель председателя правительства Красноярского края.

В апреле 2010 года возглавил департамент бюджетной политики в отраслях социальной сферы и науки Министерства финансов РФ.

13 июня 2012 года назначен заместителем министра финансов Российской Федерации Антона Силуанова.

25 октября 2013 года председатель Правительства РФ Дмитрий Медведев уволил Котюкова с поста замминистра финансов РФ и назначил руководителем Федерального агентства научных организаций (ФАНО), созданного в рамках реформы РАН.

Член наблюдательного совета ГК «Олимпстрой».

Член экспертной группы «Реформа пенсионной системы» Стратегии 2020.

С августа 2012 года — член комиссий при президенте РФ по делам инвалидов и ветеранов.

Включён в состав президентского резерва управленческих кадров.

Указом Президента Российской Федерации Владимира Путина 18 мая 2018 года назначен Министром науки и высшего образования Российской Федерации.